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DDL : Compréhension des degrés de liberté (ddl) dans le cadre de la simulation éléments finis

A l’attention des futurs utilisateurs des logiciels de simulation Eléments Finis (EF), il est important de connaitre les limitations liées à la modélisation. En effet, certains éléments finis (dont le choix est fait par l’utilisateur rappelons-le), ne peuvent, par nature, transmettre toutes les sollicitations à travers les nœuds des éléments en présence.

Par exemple, deux éléments poutres connectés entre eux, se comportent comment une vraie liaison soudée du fait que les éléments poutres vont transmettre trois forces (axiales et tranchants/cisaillement) et trois moments (torsion et fléchissant/flexion).

Cependant, une même de ces poutres connectés à un élément barre (truss en anglais) se comportera comme une rotule du fait que l’élément barre ne peut que transmettre des efforts axiaux.

Plus généralement, le concept de ce que peut et ne peut transmettre comme chargement un élément est directement lié au degré de liberté (DDL).

Le DDL est important afin de comprendre comment les chargements peuvent être appliqués, comment les conditions aux limites imposent des contraintes au modèle et comment les différents types d’éléments peuvent être connectés entre eux. Un DDL en translation indique qu’une force est transmise à travers les nœuds ; tandis qu’un DDL en rotation indique qu’un moment est transmis à travers les nœuds.

Par exemple, les éléments plans (2-D) n’ont que des DDL en translation, dans les directions du plan. Cela implique entre autres, qu’on ne peut appliquer un moment à un élément 2-D ; mathématiquement, l’élément ne peut réagir au moment.

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Figure 1: Elément 2D (Triangulaire)

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Figure 2: Elément 2D (Quadrilatère)

 

 

 

 

 

 

De même, une condition de « blocage complet » sur un élément volumique, ne peut impliquer un moment limité à l’élément (de tout type parmi les briques hexa, aux primes, tétras et autres) du fait que celui-ci dispose uniquement de DDL en translation et pas en rotation.

Il existe cependant des techniques qui permettent de contourner ce problème.

DDL

Figure 3: Eléments Briques (8 noeuds)

Finalement, la connexion entre l’élément barre et l’élément poutre peut entrainer des instabilités numériques du fait que l’élément barre ne va pas contraindre l’éventuelle rotation des nœuds de l’élément poutre ; si l’autre extrémité de l’élément poutre est libre de translater (aucune condition aux limites n’y est imposée), dans ce cas la connexion se comportera comme une articulation sphérique.

DDL

Figure 4: Connexion élément poutre – élément barre

 

Les deux cas ci-dessus présentés entraineront très probablement des messages d’erreur à l’exécution du modèle tell que « modèle pas assez tenu, instabilité, pivot nul » durant une analyse statique linéaire.

Table 1: DDL pour les principaux types d’éléments finis.

Elément Degrés de Liberté
Barre translation en X, Y, Z
Poutre translation en X, Y, Z; rotation en X, Y, Z
2-D translation en Y, Z
Volumique translation en X, Y, Z
Plaque translation en X, Y, Z, deux DDL en rotation
(Le DDL autour de la direction normale au plan de l’élément n’est pas une vraie inconnue pour les éléments plaques)

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